Publication: Homología singular de espacios topológicos
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Abstract in spanish
En el presente trabajo, se exploran conceptos fundamentales del Álgebra Homológica, tales como Módulos, Homomorfismos y Sucesiones Exactas. Se analizan en profundidad los Complejos de Cadena y la Homología, y se discuten teoremas clave como el Lema de la Serpiente y el Teorema Fundamental del Álgebra Homológica. Además, se examina la Homotopía entre Homomorfismos de Complejos de Cadena. Todo lo anterior es con el fin de llegar a la base central de estre poyecto, la Homología. Para ello se estudian los Simplejos y el Complejo de Cadenas Singulares. Luego, se abordan temas como el 0-ésimo Grupo de Homología, la Homología de un punto y la Homología reducida. Se destaca la Funtorialidad y se presenta el Teorema de Invarianza por Homotopía. Posteriormente, se exploran conceptos más avanzados como la Homología Relativa, la Homología de Pares Topológicos, la Escisión y la Sucesión de Mayer-Vietoris. Finalmente, se discute la Homología de un Cociente de Espacios.
Abstract in english
In this work, fundamental concepts of Homological Algebra are explored, such as Modules, Homomorphisms and Exact Sequences. Chain Complexes and Homology are analyzed in depth, and key theorems such as the Snake Lemma and the Fundamental Theorem of Homological Algebra are discussed. Furthermore, the Homotopy between Homomorphisms of Chain Complexes is examined. All of the above is in order to reach the central basis of this project, Homology. For this, Simplexes and the Complex of Singular Chains are studied. Then, topics such as the 0th Homology Group, One-Point Homology, and Reduced Homology are addressed. Funtoriality is highlighted and the Homotopy Invariance Theorem is presented. Subsequently, more advanced concepts such as Relative Homology, Homology of Topological Pairs, Excision and the Mayer-Vietoris Sequence are explored. Finally, the Homology of a Quotient of Spaces is discussed.