Publicación: Representación de enteros como imágenes de polinomios de la forma $x^k+y^{\ell}$ en $\mathbb Z_n$
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Resumen en español
Para un polinomio $f(x_1,\ldots, x_t)$ y un entero positivo $n$, definimos el conjunto $A_n$ formado por los enteros $a\in \{0,\ldots, n-1\}$ para los cuales la congruencia $f(x_1,\ldots, x_t)\equiv a\ ({\rm mod }\ n)$ tiene solución. Definimos $\alpha(n)$ como el cardinal de $A_n$ y resulta que $\alpha(n)$ es una función multiplicativa, por lo que el problema de calcular $\alpha(n)$ se reduce a encontrar $\alpha(p^k)$, donde $p$ es un número primo y $1\leq k\leq n$. En este trabajo desarrollamos un método para calcular $\alpha(p^k)$ para la función asociada a un tipo especial de polinomios que llamamos \textit{polinomios admisibles}. Luego aplicamos este método a polinomios de la forma $x^k+y^{\ell}$, para calcular de manera explícita la función $\alpha$.
Resumen en inglés
For a polynomial f(x1, . . . , xt) and a positive integer n, the set An is defined as the collection of integers a ∈ {0, . . . , n − 1} for which the congruence f(x1, . . . , xt) ≡ a (mod´ n) is satisfied by some solution. The cardinality of An is denoted by α(n), and it is found that α(p k ) is a multiplicative function. Thus, the computation of α(n) is reduced to the determination of α(p k ), where p is a prime number and 1 ≤ k ≤ n. In this work, a method is developed to compute α(p n ) for a special class of polynomials, referred to as admissible polynomials. This method is then applied to polynomials of the form x k + y ℓ to explicitly compute the function α.