Resumen en español

Dado un polinomio $f(x_1, \ldots, x_t)$ con coeficientes enteros y $n\in\mathbb Z^+$, denotamos por $A_n$, el conjunto de elementos $a\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ tales que la congruencia polinomial $f(x_1, x_2, \ldots, x_t)\equiv a\ (\mathrm{mod}\ n)$ tiene solución, y el tamaño de $A_n$ será denotado por $\alpha(n)$. Sabemos que $\alpha$ define una función multiplicativa. Así, nuestro interés se centra en determinar $A_{p^n}$ y $\alpha(p^n)$ para toda potencia de primo $p^n$. Para una potencia de primo $p^n$, sabemos que $A_{p^{n+1}}$ es un subconjunto de $\{a+jp^{n}:a\in A_{p^{n-1}}, 0\leq j<p\}$, por lo que pueden definirse los $N-$conjuntos, $N_{p^n}:=\{a+jp^{n}:a\in A_{p^{n-1}}, 0\leq j<p\}\setminus A_{p^n},$ del primo $p$. El objetivo principal de nuestro trabajo, es calcular fórmulas explícitas para $\alpha(p^n)$ asociada a polinomios de la forma $f(x,y)=x^k\pm y^k$. Sin embargo, incluimos una variedad de resultados asociados a polinomios más generales del tipo $f(x_1,\ldots,x_n)=c_1x_1^k+\cdots+c_nx^k_n.$ Además, estudiamos la versión modular del problema de Waring y proponemos una generalización.