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Conteo de enteros representables como sumas de potencias k−ésimas módulo n

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dc.contributor.advisorBorja Soto, Jersonspa
dc.contributor.authorAnaya Ibáñez, Samuel Enrique
dc.date.accessioned2022-09-04T04:25:58Z
dc.date.available2023-08-31
dc.date.available2022-09-04T04:25:58Z
dc.date.issued2022-09-03
dc.description.abstractDado un polinomio $f(x_1, \ldots, x_t)$ con coeficientes enteros y $n\in\mathbb Z^+$, denotamos por $A_n$, el conjunto de elementos $a\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ tales que la congruencia polinomial $f(x_1, x_2, \ldots, x_t)\equiv a\ (\mathrm{mod}\ n)$ tiene solución, y el tamaño de $A_n$ será denotado por $\alpha(n)$. Sabemos que $\alpha$ define una función multiplicativa. Así, nuestro interés se centra en determinar $A_{p^n}$ y $\alpha(p^n)$ para toda potencia de primo $p^n$. Para una potencia de primo $p^n$, sabemos que $A_{p^{n+1}}$ es un subconjunto de $\{a+jp^{n}:a\in A_{p^{n-1}}, 0\leq j<p\}$, por lo que pueden definirse los $N-$conjuntos, $N_{p^n}:=\{a+jp^{n}:a\in A_{p^{n-1}}, 0\leq j<p\}\setminus A_{p^n},$ del primo $p$. El objetivo principal de nuestro trabajo, es calcular fórmulas explícitas para $\alpha(p^n)$ asociada a polinomios de la forma $f(x,y)=x^k\pm y^k$. Sin embargo, incluimos una variedad de resultados asociados a polinomios más generales del tipo $f(x_1,\ldots,x_n)=c_1x_1^k+\cdots+c_nx^k_n.$ Además, estudiamos la versión modular del problema de Waring y proponemos una generalización.spa
dc.description.degreelevelMaestríaspa
dc.description.degreenameMagister en Matemáticasspa
dc.description.modalityTrabajos de Investigación y/o Extensiónspa
dc.description.tableofcontentsAgradecimientos VIspa
dc.description.tableofcontents1. Preliminares 3spa
dc.description.tableofcontents1.1 Congruencias polinomiales .......................................................................................................... 3spa
dc.description.tableofcontents1.2. Teoría aditiva de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6spa
dc.description.tableofcontents2. El Polinomio $c_1 x^k_1 + · · · + c_t x^k_t$ 9spa
dc.description.tableofcontents2.1. Conjuntos $A_{p^n}$ y fórmulas recursivas para $\alpha$ . . . . . . . . . . . . . . . . 9spa
dc.description.tableofcontents2.2. N−conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16spa
dc.description.tableofcontents3. El Polinomio $x^k ± y^k$ 18spa
dc.description.tableofcontents3.1. El polinomio $x^k + y^k$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18spa
dc.description.tableofcontents3.1.1. El polinomio $x^k + y^k$ con p impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19spa
dc.description.tableofcontents3.1.2. Cálculo de $\alpha(p)$ para el polinomio $x^k + y^k$ . . . . . . . . . . . . . 24spa
dc.description.tableofcontents3.1.3. El polinomio $x^4 + y^4$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25spa
dc.description.tableofcontents3.1.4. El polinomio $x^5 + y^5$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28spa
dc.description.tableofcontents3.1.5. El polinomio $x^6 + y^6$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29spa
dc.description.tableofcontents3.2. El polinomio $x^k − y^k$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32spa
dc.description.tableofcontents3.2.1. El polinomio $x^k − y^k$ con k par. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32spa
dc.description.tableofcontents3.2.2. El polinomio $x^4 − y^4$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34spa
dc.description.tableofcontents4. El problema de Waring modular 35spa
dc.description.tableofcontents4.1. Versión modular del problema de Waring . . . . . . . . . . . . . . . . . 35spa
dc.description.tableofcontents4.1.1. El problema modular de Waring para potencias cúbicas . . . . . 36spa
dc.description.tableofcontents4.1.2. El problema de Waring modular para cuartas potencias . . . . . 37spa
dc.description.tableofcontents4.1.3. El problema de Waring modular para quintas potencias . . . . 40spa
dc.description.tableofcontents4.1.4. El problema de Waring modular para sextas potencias . . . . . 41spa
dc.description.tableofcontents4.1.5. El problema de Waring modular para séptimas potencias . . . . 43spa
dc.description.tableofcontents4.1.6. El problema de Waring modular para octavas potencias . . . . 44spa
dc.description.tableofcontents4.1.7. El problema modular de Waring para novenas potencias . . . . 45spa
dc.description.tableofcontents4.2. Generalización del problema modular de Waring . . . . . . . . . . . . . 46spa
dc.description.tableofcontents5. Conclusiones 49spa
dc.description.tableofcontentsBibliografía 50spa
dc.format.mimetypeapplication/pdfspa
dc.identifier.urihttps://repositorio.unicordoba.edu.co/handle/ucordoba/6552
dc.language.isospaspa
dc.publisherUniversidad de Córdoba
dc.publisher.facultyFacultad de Ciencias Básicasspa
dc.publisher.placeMontería, Córdoba, Colombiaspa
dc.publisher.programMaestría en Matemáticasspa
dc.rightsCopyright Universidad de Córdoba, 2022spa
dc.rights.accessrightsinfo:eu-repo/semantics/embargoedAccessspa
dc.rights.creativecommonsAtribución-NoComercial-SinDerivadas 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0)spa
dc.rights.urihttps://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/spa
dc.subject.keywordsCountingeng
dc.subject.keywordsIntegerseng
dc.subject.keywordsRepresentableseng
dc.subject.keywordsImages of polynomialseng
dc.subject.proposalConteospa
dc.subject.proposalEnterosspa
dc.subject.proposalRepresentablesspa
dc.subject.proposalImágenes de polinomiosspa
dc.titleConteo de enteros representables como sumas de potencias k−ésimas módulo nspa
dc.typeTrabajo de grado - Maestríaspa
dc.type.coarhttp://purl.org/coar/resource_type/c_bdccspa
dc.type.contentTextspa
dc.type.driverinfo:eu-repo/semantics/masterThesisspa
dc.type.redcolhttps://purl.org/redcol/resource_type/TMspa
dc.type.versioninfo:eu-repo/semantics/submittedVersionspa
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dspace.entity.typePublication
oaire.accessrightshttp://purl.org/coar/access_right/c_f1cfspa
oaire.versionhttp://purl.org/coar/version/c_ab4af688f83e57aaspa
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