Publicación: Teorema de Radó-Kneser-Choquet como antecedente del Teorema del Mapeo de Riemann para funciones armónicas
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Resumen en español
El objetivo principal de este trabajo es estudiar el Teorema de Radó-Kneser-Choquet, el cual trata de las asignaciones armónicas del disco unitario en regiones convexas. El teorema de Radó-Kneser-Choquet, en pocas palabras construye un mapeo armónico del disco unitario en cualquier dominio convexo acotado, con una correspondencia prescrita. Este teorema fue propuesto por primera vez en 1926 por Tibor Radó, quien lo planteó como un problema en el Jahresberichte (en sus informes anuales). Después, Helmut Kneser proporcionó una prueba breve y elegante. Luego, pasó un período de casi 20 años antes de que Gustave Choquet, aparentemente inconsciente de la nota de Kneser, redescubriera el resultado y diera una prueba detallada que presenta algunas características en común con Kneser, pero en general se puede decir que no es lo mismo. De hecho, los dos enfoques permiten que el teorema se generalice en diferentes direcciones. Para ello, nos centraremos en algunos resultados principales como: El Teorema del mapeo de Riemann para funciones analíticas, Teorema de Ascoli, Teorema de Montel, Teorema de Lewy, la ecuación de Beltrami, entre otros, que darán paso a la demostración de nuestro teorema principal.
Resumen en inglés
The main purpose of this work is to study the Radó-Kneser-Choquet Theorem, which deals with the harmonic assignments of the unit disk in convex regions. The RadóKneser-Choquet Theorem, shortly, constructs a harmonic mapping from the unit disk in any convex domain bounded, with a prescribed correspondence. This theorem was first proposed in 1926 by Tibor Radó, who raised it as a problem in the Jahresberichte (in its annual reports). Later, Helmut Kneser provided a brief and elegant proof. Then, a period of almost 20 years happened before Gustave Choquet, apparently unaware of Kneser’s note, rediscovered the result and gave a detailed proof that presents some features in common with Kneser, but in general it can be said, that it is not the same. In fact, the two approaches allow the theorem to become generalized in different directions. To do this, we will focus on some main results such as: Riemann’s Mapping Theorem for Analytical Functions, Ascoli Theorem, Montel Theorem, Lewy’s Theorem, Beltrami’s Equation and among a few others, that will give way to the proof of our main theorem.