Publicación: Objetos combinatorios asociados a los números de Catalan
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Resumen en español
El presente trabajo aborda los números de Catalan, una importante sucesión en matemática discreta con múltiples aplicaciones en combinatoria. Se introducen las propiedades fundamentales de estos números, su recurrencia, función generatriz y fórmulas explícitas. Además, se exploran diversas estructuras combinatorias que pueden contarse utilizando los números de Catalan, como triangulaciones de polígonos convexos, árboles binarios, trayectorias de Dyck y palabras de Catalan. El trabajo incluye demostraciones rigurosas de las principales propiedades, así como ejemplos detallados que ilustran la relación entre los números de Catalan y estos objetos combinatorios. Adicionalmente, se presenta una revisión histórica que resalta el desarrollo de la teoría, esta sucesión de números ha sido conocida como los números de Segner o los números de Euler-Segner, pero, desde las investigaciones realizadas por el matemático norteamericano John Riordan en la década de 1960, se le atribuye el nombre de los números de Catalan en honor a Eugene Charles Catalan. Este estudio contribuye a una comprensión más profunda de la teoría combinatoria y su utilidad en la solución de problemas matemáticos clásicos.
Resumen en inglés
This work focuses on Catalan numbers, an important sequence in discrete mathematics with numerous combinatorial applications. The fundamental properties of these numbers, including their recurrence, generating function, and explicit formulas, are introduced. Furthermore, several combinatorial structures counted by Catalan numbers are explored, such as triangulations of convex polygons, binary trees, Dyck paths, and Catalan words. The work includes main properties and hair proofs, as well as detailed examples illustrating the relationship between Catalan numbers and these combinatorial objects. Additionally, a historical review that highlights the development of the theory, this sequence of numbers was known as Segner numbers or Euler-Segner numbers, but since the research conducted by the American mathematician John Riordan in the 1960s, it has been named Catalan numbers in honor of Eugène Charles Catalan. This study contributes to a deeper understanding of combinatorial theory and it's utility in solving classical mathematical problems.