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In this work an introductory study of module theory is made. A module is a structure defined analogously to a vectorial space but replacing the field by a ring. First, we provide some definitions, notations, and key necessary results which are going to help us with the understanding of the structure of finite generated modules (F.G.M) over a principal ideal domain (P.I.D). The focus of this project is the study of module theory, principally by using tools like ring theory and group theory. Finally, an application of the module decomposition theorem over P.I.D. to the Jordan and rational normal forms is presented, i.e. we are going to establish a connection between an important theorem of module theory and some linear algebra structures.

In this work, generalized eigenvalues are used to study the Jordan normal form and some applications of this are shown. We prove that C n can be decomposed as a direct sum of generalized proper subspaces by using annihilating polynomials and the minimal polynomial. We also prove that each generalized eigensubspace can be decomposed as a direct sum of Jordan cyclic subspaces. Finally, the Jordan Theorem is proved by using the above decompositions.

En el estudio del conjunto de los números complejos y las funciones definidas en el, se define la diferenciabilidad en el sentido complejo de manera similar a la diferenciabilidad conocida en R. Las funciones que son diferenciables en este sentido sobre un dominio las llamaremos funciones analíticas en , denotemos este conjunto por H( ). Además, dado que una función f : C ! C puede ser escrita como f = u + iv con u y v también definidas en , diremos que f es armónica en si las funciones u y v satisfacen las ecuaciones de Laplace, es decir, u = @2u @x2 + @2u @y2 = 0 y v = @2v @x2 + @2v @y2 = 0. Notaremos el conjunto de funciones armónicas en por A( ). Basados en estudios previos podemos afirmar que H( ) A( ), en este punto nos surge la pregunta ¿Se pueden extender resultados ya existentes para H( ) a A( )? La respuesta es afirmativa en algunos casos y en este trabajo mostraremos una parte de ellos como el Principio del argumento y definiremos las clases SH y S0H las cuales son analógas en el caso armónico a una clase bien conocida en el caso analático S.