Avilez Ortiz, Sergio AvilezLópez Hernández, Herlys YuliethPacheco Zapata, Miguel Ángel2023-08-172023-08-172023-08-17https://repositorio.unicordoba.edu.co/handle/ucordoba/7670En este trabajo de grado, presentaremos algunos métodos iterativos de espacios de Krylov. Estos métodos son de gran utilidad al buscar soluciones aproximadas para sistemas del tipo Ax=b, especialmente cuando hay una gran cantidad de ceros en la matriz. Aplicaremos estos métodos para obtener una aproximación numérica de la ecuación de Poisson, que será estudiada y planteada a lo largo de este trabajo. En primer lugar, introduciremos algunos conceptos preliminares sobre los espacios de Krylov, explicando su origen y presentando métodos importantes derivados de este espacio. Posteriormente, plantearemos la ecuación de Poisson y la resolveremos utilizando el método de diferencias finitas, para así analizar su estabilidad, consistencia y convergencia. Por último, aplicaremos esta ecuación en algunos campos de la física, donde utilizaremos los métodos de Krylov para encontrar soluciones eficientes, con esto, buscamos explorar y utilizar los métodos iterativos de los espacios de Krylov como herramientas efectivas en la resolución aproximada de sistemas con una matriz esparsa, centrándonos en la ecuación de Poisson y su aplicación en diversos contextos de la física.Declaración de autoría ................................ 5Agradecimientos .........................................7Resumen ............................................ 9Abstract .................................................. 10Índice de figuras ................................................. 13Introducción .......................................................... 141. Preliminares ............................................................171.1. El método del gradiente conjugado (CG) ............................................. 171.1.1. El método de descenso más pronunciado y sus deficiencias ............. 201.1.2. Derivación heurística del algoritmo de gradiente conjugado ............................ 221.2. Espacios de Krylov......................................................... 251.2.1. El método de Arnoldi .............................................................. 261.2.2. Método del residuo mínimo generalizado (GMRES) ............................... 281.2.3. Lanczos simétrico ............................................. 301.2.4. The Minimal Residual Method (MINRES) .................................................... 321.3. Importancias de los métodos iterativos de Krylov ............................................ 332. Ecuación de Poisson .................................................... 362.1. Planteamiento del problema de Poisson ........................................ 362.1.1. Origen de la ecuación de Poisson ............................. 362.1.2. Ecuación de Poisson...............................................372.1.3. Condiciones de frontera ................................................ 382.1.4. Modelamiento de la ecuación .............................................. 392.2. Existencia y unicidad de las soluciones.............................................. 402.3. Método de diferencias finitas (MDF) ............................................ 432.3.1. Método de diferencias finitas en 2D ............................................ 442.3.2. Algoritmo para la solución numérica de la ecuación Poisson usando diferencias finitas ...................................................... 483. Análisis de la ecuación de Poisson y aplicaciones de los métodos de Krylov en su solución numérica .................................................................. 563.1. Análisis de convergencia, estabilidad y consistencia ................................... 563.2. Algunos campos de aplicación .......................................................723.2.1. Flujo de calor ..................................................... 723.2.2. Electrostática................................................. 753.2.3. Potencial eléctrico .................................................... 78Conclusiones ..................................................... 82Referencias .................................................... 83application/pdfspaCopyright Universidad de Córdoba, 2023Trabajo de grado - Pregradoinfo:eu-repo/semantics/openAccessAtribución-NoComercial-SinDerivadas 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0)Métodos iterativosEspecios de KrylovGMRESMINRESEcuación de PoissonDiferencias FinitasElectrostáticaDistribución de calorPotencial EléctricoIterative methodsKrylov spacesGMRESMINRESPoisson's equationFinite differencesElectrostaticsHeat distributionElectric potential