Reales Martínez, Carlos AlbertoMuñoz López, Juan Alberto2024-12-202024-12-202024-12-18https://repositorio.unicordoba.edu.co/handle/ucordoba/8849El presente trabajo se centra en el desarrollo y análisis de un método numérico basado en el enfoque de Galerkin, aplicado a problemas evolutivos no lineales. Estos problemas surgen en diversos campos científicos, como la biología, la física y la ingeniería, y presentan desafíos significativos tanto desde el punto de vista teórico como computacional. En primer lugar, se introducen conceptos preliminares sobre los espacios de Sobolev, además fundamentales para el análisis del método. Posteriormente, se plantea un problema evolutivo no lineal como caso de estudio, explorando tanto su formulación como su solución numérica mediante el método de Galerkin en el contexto de los elementos finitos. Por último, se presentan dos ejemplos de aplicación que validan el uso del método de los elementos finitos para resolver problemas evolutivos no lineales, destacando su precisión y utilidad en escenarios prácticosThe present work focuses on the development and analysis of a numerical method based on the Galerkin approach, applied to nonlinear evolutionary problems. These problems arise in various scientific fields, such as biology, physics and engineering, and present significant challenges from both theoretical and computational points of view. First, preliminary concepts of Sobolev spaces are introduced and important results such as the Aubin-Nitsche argument and Gronwall’s Lemma, which are fundamental for the analysis of the method, are discussed. Subsequently, a nonlinear evolutionary problem is posed as a case study, exploring both its formulation and its numerical solution by means of Galerkin’s method in the context of finite elements. Finally, two application examples are presented that validate the use of the finite element method to solve nonlinear evolutionary problems, highlighting its accuracy and usefulness in practical scenarios.Declaración de Autoría VIResumen VIIAgradecimientos IX1. Preliminares 51.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Argumento de Aubin-Nitsche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Estimación del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Lema de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Discretización de dominio y espacio de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . 112. Un Problema No Lineal 142.1. Esquema completamente discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.1. Esquema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2. Euler linealizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293. Ejemplos Numéricos 323.1. Problema con lado derecho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2. Análisis de un Problema Evolutivo No Lineal: ecuación de Fisher-KPP . . . . . . . . 364. Conclusiones y trabajos futuros 394.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Bibliografía 41Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42application/pdfspaCopyright Universidad de Córdoba, 2024Trabajo de grado - PregradoAtribución-NoComercial-SinDerivadas 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0)info:eu-repo/semantics/openAccessMétodo de GalerkinEspacios de SobolevEcuaciones evolutivas no linealesEcuación de Fisher-KPPAnálisis numéricoElementos finitosLema de GronwallEstabilidad temporalEstimación de errorGalerkin methodSobolev spacesNonlinear evolutionary equationsFisher-KPP equationNumerical analysisFinite elementsGronwall’s LemmaTime stabilityError estimationUniversidad de CórdobaRepositorio Universidad de Córdobahttps://repositorio.unicordoba.edu.cohttp://purl.org/coar/access_right/c_abf2