Borja Soto, JersonAnaya Ibáñez, Samuel Enrique2022-09-042023-08-312022-09-042022-09-03https://repositorio.unicordoba.edu.co/handle/ucordoba/6552Dado un polinomio $f(x_1, \ldots, x_t)$ con coeficientes enteros y $n\in\mathbb Z^+$, denotamos por $A_n$, el conjunto de elementos $a\in\{0,1,\ldots,n-1\}$ tales que la congruencia polinomial $f(x_1, x_2, \ldots, x_t)\equiv a\ (\mathrm{mod}\ n)$ tiene solución, y el tamaño de $A_n$ será denotado por $\alpha(n)$. Sabemos que $\alpha$ define una función multiplicativa. Así, nuestro interés se centra en determinar $A_{p^n}$ y $\alpha(p^n)$ para toda potencia de primo $p^n$. Para una potencia de primo $p^n$, sabemos que $A_{p^{n+1}}$ es un subconjunto de $\{a+jp^{n}:a\in A_{p^{n-1}}, 0\leq j<p\}$, por lo que pueden definirse los $N-$conjuntos, $N_{p^n}:=\{a+jp^{n}:a\in A_{p^{n-1}}, 0\leq j<p\}\setminus A_{p^n},$ del primo $p$. El objetivo principal de nuestro trabajo, es calcular fórmulas explícitas para $\alpha(p^n)$ asociada a polinomios de la forma $f(x,y)=x^k\pm y^k$. Sin embargo, incluimos una variedad de resultados asociados a polinomios más generales del tipo $f(x_1,\ldots,x_n)=c_1x_1^k+\cdots+c_nx^k_n.$ Además, estudiamos la versión modular del problema de Waring y proponemos una generalización.Agradecimientos VI1. Preliminares 31.1 Congruencias polinomiales .......................................................................................................... 31.2. Teoría aditiva de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. El Polinomio $c_1 x^k_1 + · · · + c_t x^k_t$ 92.1. Conjuntos $A_{p^n}$ y fórmulas recursivas para $\alpha$ . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. N−conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163. El Polinomio $x^k ± y^k$ 183.1. El polinomio $x^k + y^k$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.1. El polinomio $x^k + y^k$ con p impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.2. Cálculo de $\alpha(p)$ para el polinomio $x^k + y^k$ . . . . . . . . . . . . . 243.1.3. El polinomio $x^4 + y^4$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.4. El polinomio $x^5 + y^5$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.5. El polinomio $x^6 + y^6$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2. El polinomio $x^k − y^k$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.1. El polinomio $x^k − y^k$ con k par. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.2. El polinomio $x^4 − y^4$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344. El problema de Waring modular 354.1. Versión modular del problema de Waring . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1.1. El problema modular de Waring para potencias cúbicas . . . . . 364.1.2. El problema de Waring modular para cuartas potencias . . . . . 374.1.3. El problema de Waring modular para quintas potencias . . . . 404.1.4. El problema de Waring modular para sextas potencias . . . . . 414.1.5. El problema de Waring modular para séptimas potencias . . . . 434.1.6. El problema de Waring modular para octavas potencias . . . . 444.1.7. El problema modular de Waring para novenas potencias . . . . 454.2. Generalización del problema modular de Waring . . . . . . . . . . . . . 465. Conclusiones 49Bibliografía 50application/pdfspaCopyright Universidad de Córdoba, 2022Trabajo de grado - Maestríainfo:eu-repo/semantics/embargoedAccessAtribución-NoComercial-SinDerivadas 4.0 Internacional (CC BY-NC-ND 4.0)ConteoEnterosRepresentablesImágenes de polinomiosCountingIntegersRepresentablesImages of polynomials